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余弦定理证明过程(精选多篇)

时间:2023-03-24 00:06:25
余弦定理证明过程(精选多篇)(全文共1204字)

在△abc中,设bc=a,ac=b,ab=c,试根据b,c,a来表示a。 分析:由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题,所以应添加辅助线构造直角三角形,在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作cd垂直于ab于d,那么在rt△bdc中,边a可利用勾股定理用cd、db表示,而cd可在rt△adc中利用边角关系表示,db可利用ab-ad转化为ad,进而在rt△adc内求解。

解:过c作cd⊥ab,垂足为d,则在rt△cdb中,根据勾股定理可得: a2=cd2+bd2

∵在rt△adc中,cd2=b2-ad2

又∵bd2=(c-ad)2=c2-2c·ad+ad2

∴a2=b2-ad2+c2-2c·ad+ad2=b2+c2

-2c·ad 又∵在rt△adc中,ad=b·cosa ∴a2=b2+c2-2bccosa类似地可以证明b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc

第二篇:余弦定理证明过程

余弦定理证明过程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2 ……此处隐藏1350个字……p>---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

平面几何证法:

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所对的边为c,∠b所对的边为b,∠a所对的边为a

则有bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c

根据勾股定理可得:

ac^2=ad^2+dc^2

b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2

b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb

b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosb

cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,

如果一个三角形两边的平方和等于第三

边的平方,那么第三边所对的角一定是直

角,如果小于第三边的平方,那么第三边所

对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边

所对的角是锐角.即,利用余弦定理,可以判断三角形形状。 同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

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