第一篇：利用导数证明不等式
利用导数证明不等式
没分都没人答埃。。觉得可以就给个好评!
最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..证明：a-a^2>0其中0
f(a)=a-a^2
f'(a)=1-2a
当00;当1/2
因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明：不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
知sinx
……此处隐藏5761个字……f (b)≤f (a) 2lnx2a2lnx，当x?1，a?0时，不难证明??1 xxxf?(x)?0，即f(x)在(0,??)内单调递增，故当x?1时，
2f(x)?f(1)?0，∴当x?1时，恒有x?lnx?2alnx?1
3a21222、提示：设f(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b则f?(x)?x?2a? x2
(x?a)(x?3a)= (x?0) ?a?0，∴ 当x?a时，f?(x)?0， x
故f(x)在(0,a)上为减函数，在(a,??)上为增函数，于是函数f(x) 在(0,??)上的最小值
是f(a)?f(a)?g(a)?0，故当x?0时，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)
3、提示：函数f(x)的定义域为(?1,??)，f?(x)?11x ??221?x(1?x)(1?x)
∴当?1?x?0时，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上为减函数
当x?0时，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上为增函数
因此在x?0时,f(x)取得极小值f(0)?0，而且是最小值 x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?x
a1bab令1?x??0,则1??1?于是ln?1? bx?1aba
b因此lna?lnb?1? a于是f(x)?f(0)?0,从而ln(1?x)?
xf'(x)?f(x)f(x)f(x)4、提示：f(x)?，f?(x)?，故在（0，+∞）上是减函数，由?0f(x)?2xxx
a?b 有f(a)f(b)?? af (b)≤bf (a)故选（a） ab
